Identificazione dei poligoni nel piano cartesiano
Ieri, martedì 6 marzo, abbiamo svolto insieme un esercizio che chiedeva l'identificazione e il calcolo di area e perimetro di un quadrilatero nel piano cartesiano (l'esercizio era il numero 68 a pag 311).
La prima difficoltà che abbiamo dovuto superare era quella di riportare correttamente i punti nel piano cartesiano; ricordando che il primo valore della coppia di coordinate corrisponde al valore dell'ascissa (x) e che il secondo valore della coppia corrisponde al valore dell'ordinata (y), abbiamo ottenuto un disegno come quello che segue.
A questo punto io ho chiesto di quale poligono si trattasse.
Osservando il disegno era chiaro a tutti che la figura fosse un rombo, ma... non basta il colpo d'occhio, ci vuole la prova matematica!
Per verificare che davvero la figura è un rombo, basta verificare che i suoi lati hanno tutti la stessa lunghezza: i quadrilateri in cui tutti i lati hanno la stessa lunghezza sono per forza dei rombi. In matematichese, si dice che avere i lati uguali è condizione sufficiente perché il quadrilatero sia un rombo.
La verifica va fatta: sfruttando la formula della distanza tra due punti, possiamo calcolare che le lunghezze dei lati sono tutte uguali tra loro, tutte pari a 5 cm.
Da questi calcoli, ricaviamo immediatamente il perimetro:
$$2p=5\cdot 4= 20\text{ cm.}$$
Per calcolare l'area, abbiamo bisogno della misura delle diagonali, cioè delle lunghezze dei segmenti LN e AM. Possiamo farlo applicando la formula della distanza tra due punti, o facendo un paio di sottrazioni dal momento che la prima coppia ha la stessa ascissa (x) e la seconda coppia ha la stessa ordinata (y): in entrambi i casi otteniamo lo stesso risultato, LN = 6 cm e AM = 8 cm.
Da questi valori ricaviamo l'area:
$$A=\frac{d\cdot D}{2}=\frac{LN \cdot AM}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24 \text{ cm}^2.$$
Il fatto che gli estremi della diagonale minore abbiano la stessa ascissa e che gli estremi della diagonale maggiore abbiano la stessa ordinata ci ha permesso di notare che le diagonali sono perpendicolari (una giace su un asse del piano cartesiano, l'altra giace su una retta parallela all'altro asse): questa è una condizione comune a tutti i quadrilateri che sono rombi, ma è propria anche, per esempio, del deltoide.
Avere le diagonali perpendicolari è quindi una condizione necessaria perché un quadrilatero sia un rombo, ma non sufficiente.
La prima difficoltà che abbiamo dovuto superare era quella di riportare correttamente i punti nel piano cartesiano; ricordando che il primo valore della coppia di coordinate corrisponde al valore dell'ascissa (x) e che il secondo valore della coppia corrisponde al valore dell'ordinata (y), abbiamo ottenuto un disegno come quello che segue.
A questo punto io ho chiesto di quale poligono si trattasse.
Osservando il disegno era chiaro a tutti che la figura fosse un rombo, ma... non basta il colpo d'occhio, ci vuole la prova matematica!
Per verificare che davvero la figura è un rombo, basta verificare che i suoi lati hanno tutti la stessa lunghezza: i quadrilateri in cui tutti i lati hanno la stessa lunghezza sono per forza dei rombi. In matematichese, si dice che avere i lati uguali è condizione sufficiente perché il quadrilatero sia un rombo.
La verifica va fatta: sfruttando la formula della distanza tra due punti, possiamo calcolare che le lunghezze dei lati sono tutte uguali tra loro, tutte pari a 5 cm.
Da questi calcoli, ricaviamo immediatamente il perimetro:
$$2p=5\cdot 4= 20\text{ cm.}$$
Per calcolare l'area, abbiamo bisogno della misura delle diagonali, cioè delle lunghezze dei segmenti LN e AM. Possiamo farlo applicando la formula della distanza tra due punti, o facendo un paio di sottrazioni dal momento che la prima coppia ha la stessa ascissa (x) e la seconda coppia ha la stessa ordinata (y): in entrambi i casi otteniamo lo stesso risultato, LN = 6 cm e AM = 8 cm.
Da questi valori ricaviamo l'area:
$$A=\frac{d\cdot D}{2}=\frac{LN \cdot AM}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24 \text{ cm}^2.$$
Il fatto che gli estremi della diagonale minore abbiano la stessa ascissa e che gli estremi della diagonale maggiore abbiano la stessa ordinata ci ha permesso di notare che le diagonali sono perpendicolari (una giace su un asse del piano cartesiano, l'altra giace su una retta parallela all'altro asse): questa è una condizione comune a tutti i quadrilateri che sono rombi, ma è propria anche, per esempio, del deltoide.
Avere le diagonali perpendicolari è quindi una condizione necessaria perché un quadrilatero sia un rombo, ma non sufficiente.
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