Prodotti notevoli - Somma per differenza e quadrato di un binomio

Ciao ragazzi,
approfitto di questo tempo nevoso per recuperare qualche post rimasto indietro nei giorni scorsi.

Ieri, 28 febbraio, abbiamo parlato dei prodotti notevoli; abbiamo visto che sono dei prodotti tra particolari polinomi (nel nostro caso, binomi) che permettono di utilizzare delle scorciatoie di calcolo.

Ne abbiamo analizzati due tipi: la somma per differenza e il quadrato di binomio.

Somma per differenza

Ci siamo chiesti come calcolare il prodotto della somma di due monomi, per esempio $(a + b)$, per la loro differenza $(a - b)$: $(a + b)(a - b)$.

Abbiamo notato che i due fattori sono composti da due binomi in cui compaiono gli stessi termini; uno di questi due termini, però, compare nei due binomi con segno opposto: una volta con segno positivo, l'altra con segno negativo.

Abbiamo fatto i conti nel modo tradizionale:
$$(a + b)(a - b)=a^2 - ab + ab - b^2=a^2-b^2$$.

Nel polinomio prodotto compaiono due termini opposti, che si eliminano a vicenda; ci siamo chiesti se questo fosse un caso dovuto al particolare esempio scelto, e la risposta è stata NO. I due termini in cui compare il prodotto dei due monomi (termini misti) avranno sempre segno opposto e quindi si elimineranno sempre.

Siamo quindi arrivati alla nostra conclusione:
la somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio. 

Abbiamo visto come non sia importante in quale ordine compaiano i termini; può comparire prima la differenza e poi la somma, il polinomio può cominciare con un segno negativo... il risultato finale sarà sempre il quadrato del monomio che non cambia di segno (nel nostro esempio, il primo termine) per il quadrato del monomio che cambia di segno (nel nostro esempio, il secondo termine).

Quadrato di un binomio

Ci siamo chiesti come calcolare il quadrato di un binomio, come $(a + b)^2$. 

Anche in questo caso, possiamo fare i conti nel modo tradizionale: 
$$(a + b)^2=(a + b)(a + b)=a^2 + ab + ab + b^2=a^2+2ab+b^2$$.
In questo caso nel polinomio compaiono due termini uguali, che si sommano tra di loro; anche in questo caso, ci siamo chiesti se questo fosse un caso dovuto al particolare esempio scelto, e la risposta è stata NO. I due termini in cui compare il prodotto dei due monomi (termini misti) saranno sempre uguali tra loro e quindi comparirà sempre il prodotto dei monomi moltiplicato per due. 

In conclusione, 
il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine più il doppio del prodotto tra i due termini più il quadrato del secondo termine. 
Anche in questo caso non importa l'ordine in cui compaiono i termini: è indifferente se scriviamo prima i quadrati dei due monomi e poi il doppio del loro prodotto o se scriviamo prima il doppio dei prodotti e poi i quadrati. 

A una cosa bisogna fare particolare attenzione: ai segni. Il segno del prodotto dipende dal segno di partenza dei due monomi: sarà positivo se i monomi hanno lo stesso segno, negativo se i due monomi hanno segno opposto. 

Commenti

Posta un commento

Post popolari in questo blog

Prima legge di Ohm e relazioni di proporzionalità

Immagine
I post di oggi, 22 febbraio, saranno due perché in effetti oggi abbiamo lavorato molto e abbiamo parlato di due argomenti abbastanza diversi tra loro. La prima ora è stata quasi un'ora di matematica: siamo andati a cercare relazioni di proporzionalità tra le grandezze coinvolte dalla prima legge di Ohm, cioè la differenza di potenziale V , la resistenza R  e l'intensità di corrente i . La prima legge di Ohm dice che $i=\frac{V}{R}$, cioè che l'intensità di corrente che passa in un conduttore è uguale al rapporto tra la differenza di potenziale ai capi del conduttore e la resistenza offerta dal conduttore. Ci siamo chiesti cosa succede quando la differenza di potenziale resta costante; per esempio, come cambia la corrente che circola grazie a una pila da 4,5 V al variare dei valori della resistenza. Le tre grandezze che ci interessano sono in questo caso legate dalla relazione $i=\frac{4,5\text{ V}}{R}$. La differenza di potenziale è fissa, cioè è costante ; le varia...
Continua a leggere

Identificazione dei poligoni nel piano cartesiano

Immagine
Ieri, martedì 6 marzo, abbiamo svolto insieme un esercizio che chiedeva l'identificazione e il calcolo di area e perimetro di un quadrilatero nel piano cartesiano (l'esercizio era il numero 68 a pag 311). La prima difficoltà che abbiamo dovuto superare era quella di riportare correttamente i punti nel piano cartesiano; ricordando che il primo valore della coppia di coordinate corrisponde al valore dell'ascissa ( x ) e che il secondo valore della coppia corrisponde al valore dell'ordinata ( y ), abbiamo ottenuto un disegno come quello che segue. A questo punto io ho chiesto di quale poligono si trattasse. Osservando il disegno era chiaro a tutti che la figura fosse un rombo, ma... non basta il colpo d'occhio, ci vuole la prova matematica! Per verificare che davvero la figura è un rombo, basta verificare che i suoi lati hanno tutti la stessa lunghezza: i quadrilateri in cui tutti i lati hanno la stessa lunghezza sono per forza dei rombi. In matematichese, s...
Continua a leggere

Superficie laterale e totale di un solido

Immagine
L'argomento principale della lezione di oggi è stato il calcolo della superficie di un solido. Siamo partiti dai due cilindri che avevamo costruito la volta precedente ; abbiamo capito che hanno un volume diverso, ma che hanno qualcosa in comune. In effetti, sono stati ricavati partendo dallo stesso foglio di carta; in entrambi i casi, è il foglio di carta che fa da contorno, che forma il "bordo laterale". Smontando le parti che fanno da pareti al cilindro otteniamo una figura come questa. Quello colorato di viola è il foglio che abbiamo utilizzato, su cui sono state evidenziate le due dimensioni (erano 21 cm e 30 cm, ma potrebbero essere due misure qualsiasi). Come si trova la sua area? Semplice: con la formula dell'area del rettangolo. La parte viola fa da confine alla parte laterale del cilindro; per questo motivo la sua area è chiamata superficie o area laterale . Colorate in verde sono anche le circonferenze dei due cerchietti in alto e in basso. I nost...
Continua a leggere